Use Lh’ospital o limite lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1

Passo 1

Sabemos que para usar Lh’oshpital, precisamos deixar nosso limite da forma 0 0 ou ∞ ∞ . Vamos analisar qual a cara do limite que devemos calcular e se ele já está na forma que precisamos.

Usando todas as regras que conhecemos de limite,

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1 =       ⁡ l i m x → 1 ( x a - 1 ) l i m x → 1 ( x b - 1 ) =   1 - 1   1 - 1 = 0 0  

Passo 2

Nesse caso, o resultado obtido já está forma que desejamos, então é só aplicar Lh’hospital. Ou seja, vamos derivar o numerador e, em seguida, derivar o denominador. Daí, nosso limite fica

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1 =       ⁡ l i m x → 1 ( x a - 1 ) l i m x → 1 ( x b - 1 ) =   lim x → 1 ⁡ a x a - 1 b x b - 1  

Passo 3

Fazendo a substituição do limite,

lim x → 1 ⁡ a x a - 1 b x b - 1 = a b  

Resposta

lim x → 1 ⁡ x a - 1 x b - 1 = a b

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