Calcule a integral definida abaixo:

∫ 1 4 x 8 + 1 2 x d x

Passo 1

Primeiramente vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença. Ela nos diz que quando temos duas funções dentro da integral sendo somadas ou subtraídas podemos separa-las em outra integrais, preservando o mesmo limite de integração. De forma matemática temos:

∫ a b ( f x ± g ( x ) )   d x =   ∫ a b f x d x ±   ∫ a b g x d x

Assim, temos que :

∫ 1 4 x 8 + 1 2 x d x =   ∫ 1 4 x 8 d x +   ∫ 1 4 1 2 x d x

Passo 2

Agora integramos o polinômio e retiramos a constante:

=   ∫ 1 4 x 8 d x +   ∫ 1 4 1 2 x d x =   = 1 8 ∫ 1 4 x d x + 1 2 ∫ 1 4 1 x d x

Lembre-se que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

E que:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Assim:

1 8 ∫ 1 4 x d x + 1 2 ∫ 1 4 1 x d x = 1 8 x 2 2 4 1 + 1 2 ( ln ⁡ x )   4 1

Passo 3

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

1 8 x 2 2 4 1 + 1 2 ( ln ⁡ x )   4 1 = 1 8 4 2 2 - 1 2 2 + 1 2 ( ln ⁡ 4 - ln ⁡ 1 ) =

=   15 16 + ln ⁡ 4 2 = 15 16 + ln ⁡ 2

Lembre-se que:

l n a = ln ⁡ a   2

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ln ⁡ 4     2 = ln ⁡ 4 = ln ⁡ 2

Resposta

15 16 + ln ⁡ 2

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