Calcule a integral definida abaixo:

∫ 0 ln ⁡ 5 e r 3 e r + 1 - 3 2   d r

Passo 1

Nessa questão devemos aplicar a técnica de integração por substituição . Esse método consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f(x) por uma variável simples (u) e que resulte em um du=f’(x) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

∫ 0 ln ⁡ 5 e r 3 e r + 1 - 3 2   d r

u = 3 e r + 1 d u = 3 e r d r   ⇒ d u 3 = e r   d r

Passo 2

Aplicando a substituição e retirando a constante do integrando temos:

∫ 0 ln ⁡ 5 e r 3 e r + 1 - 3 2   d r =   ∫ 0 ln ⁡ 5 u - 3 2 d u 3 = 1 3 ∫ 0 ln ⁡ 5   u - 3 2   d u

Passo 3

Para efetuar esta integração utilizaremos a integração polinomial que é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim:

1 3 ∫ 0 ln ⁡ 5   u - 3 2   d u = 1 3 u - 1 2 - 1 2 ln ⁡ 5 0

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

1 3 u - 1 2 - 1 2 ln ⁡ 5 0 = - 2 3 [ 3 e r + 1 - 1 2 ) ln ⁡ 5 0

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Assim:

- 2 3 [ 3 e r + 1 - 1 2 ) ln ⁡ 5   0 = - 2 3 ( [ 3 e ln ⁡ 5 + 1 ] - 1 2   - [ 3 e 0 + 1   ] - 1 2 ) =

= - 2 3 1 16 - 1 4 = - 2 3 1 4 - 1 2 = - 2 3 - 1 4 = 1 6

Resposta

1 6

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