Enunciado

Se f for contínua em R , demonstre que

∫ a b f x + c d x = ∫ a + c b + c f x d x

Para o caso onde f x ≥ 0 , faça um diagrama para interpretar geometricamente essa equação como uma igualdade de áreas.

Passo 1

Temos aqui um probleminha de demonstração! Temos que provar que:

∫ a b f x + c d x = ∫ a + c b + c f x d x

Pra isso vamos partir da integral da esquerda e usar a substituição:

u = x + c

Então:

d u d x = 1 → d u = d x

Precisamos alterar também os limites de integração:

u = x + c → b + c

u = x + c → a + c

Agora substituímos:

∫ a b f x + c d x = ∫ a + c b + c f u d u

Temos que:

∫ a + c b + c f u d u = ∫ a + c b + c f x d x

Então:

∫ a b f x + c d x = ∫ a + c b + c f x d x

Eu sei que são variáveis diferentes, mas é só a forma com que a gente chama a variável! O valor não muda. Seria a mesma coisa da gente, por exemplo, ter as funções:

f x = x + 1

f u = u + 1

Uma é em função de x e outra de u , mas se substituirmos o mesmo valor nelas teremos o mesmo resultado final!

Passo 2

Agora a gente tem que fazer um diagrama, com f x ≥ 0 , que mostre exatamente o que terminamos de falar. Ou seja:

∫ a b f x + c d x = ∫ a + c b + c f x d x

Desenhando:

Pelo diagrama, vemos que a equidade se segue do fato de que nós estamos transladando o gráfico de f , e os limites de integração, por uma distância c .

Resposta

Demonstração.

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