Calcule a integral definida.

∫ 0 16 4 - x   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida. Neste caso queremos calcular

I = ∫ 0 16 4 - x   d x

Para resolver essa integral o primeiro passo é fazer t = x ⇒ t 2 = x . Assim,

d x = 2 t   d t

Portanto,

I = 2 ∫ 0 4 4 - t   t   d t

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa novamente:

u = 4 - t ⇒ u 2 = 4 - t ⇒ t = 4 - u 2 ⇒ d t = - 2 u   d u

Assim,

I = 2 ∫ 2 0 u ⋅ 4 - u 2 - 2 u   d u = 4 ∫ 0 2 4 - u 2   u 2   d u

Passo 3

Fazendo a integração:

I = 4 ∫ 0 2 4 u 2 - u 4   d u = 4 4 3 u 3 - 1 5 u 5 0 2

Portanto,

I = 4 ⋅ 4 3 ⋅ 8 - 1 5 ⋅ 32 = 4 ⋅ 32 ⋅ 1 3 - 1 5

Desta forma,

I = 256 15

Resposta

256 15

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