Enunciado

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Calcule a integral definida por dois métodos:

a ) use a fórmula prismoidal dada no exercício 44 ;

b ) use o segundo teorema fundamental do Cálculo

∫ - 2 2 x 3 + x 2 - 4 x - 2 d x  

Passo 1

Letra a

A formula prismoidal vai ser para a integral de um polinômio de 3 ° grau.

∫ a b f x d x = b - a 6 f a + 4 f a + b 2 + f b

Na nossa questão vamos ter:

f x = 2 x 3 - 2 x - 3

b = 6

a = 2

Assim, a integral vai ficar:

∫ - 2 2 x 3 + x 2 - 4 x - 2 d x = 2 - - 2 6 f - 2 + 4 f 2 - 2 2 + f 2 =

4 6 f - 2 + 4 f 0 + f 2

Vamos ter:

f - 2 = - 2 3 + - 2 2 - 4 - 2 - 2 = - 8 + 4 + 8 - 2 = 2

f 0 = 0 3 + 0 2 - 4 0 - 2 = - 2

f 2 = 2 3 + 2 2 - 4 2 - 2 = 8 + 4 - 8 - 2 = 2

Logo:

2 3 2 - 4.2 + 2 = 2 3 2 - 8 - 2 = - 8 3

Passo 2

Letra b

∫ - 2 2 x 3 + x 2 - 4 x - 2 d x  

Temso que começar achando a integral indefinida:

∫ x 3 + x 2 - 4 x - 2 d x

Usandso as propriedades de integrais:

∫ x 3 + x 2 - 4 x - 2 d x = ∫ x 3 d x + ∫ x 2 d x - 4 ∫ x d x - 2 ∫ d x

Essas antiderivadas são as de potência:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ,     s e   n ≠ 1

Primeiro, vamos escrever as duas frações como potências:

∫ x 3 d x + ∫ x 2 d x - 4 ∫ x d x - 2 ∫ d x = x 4 4 + x 3 3 - 4 x 2 2 - 2 x + C =

x 4 4 + x 3 3 - 2 x 2 - 2 x + C

Passo 3

Usando o segundo teorema fundamental do calculo:

∫ - 2 2 x 3 + x 2 - 4 x - 2 d x = x 4 4 + x 3 3 - 2 x 2 - 2 x - 2 2 = 2 4 4 + 2 3 3 - 2 2 2 - 2 2 - - 2 4 4 + - 2 3 3 - 2 - 2 2 - 2 - 2 =

4 + 8 3 - 8 - 4 - 4 - 8 3 - 8 + 4 = 8 3 - 8 + 8 3 = 16 - 24 3 = - 8 3

Resposta

Letra a

- 8 3

Letra b

- 8 3

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