Calcule a integral.

∫ x 3 1 + x ² d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos uma raiz no denominador, podemos tentar fazer com que u seja conteúdo dessa raiz, assim:

u = 1 + x 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 2 x   d x = 2 x   d x → x   d x = d u 2

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x 3 1 + x ² d x = ∫ x 2 . x 1 + x ² d x = ∫ u - 1 2 u d u = ∫ u 2 u - 1 2 u d u = ∫ u 2 u d u + ∫ - 1 2 u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer, vamos resolver as duas integrais separadamente.

Passo 2

Vamos simplificar um pouco essa primeira:

∫ u 2 u d u = 1 2 ∫ u u 1 2 d u = 1 2 ∫ u 1 - 1 2 d u = 1 2 ∫ u 1 2 d u

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Então ficamos com:

∫ u 2 u d u = 1 2 ∫ u 1 2 d u = 1 2 ∙ u 1 2 + 1 1 2 + 1 = 1 2 ∙ u 3 2 3 2 = 1 2 ∙ 2 u 3 2 3 = u 3 2 3 + C

Agora com a segunda integral:

∫ - 1 2 u d u = - 1 2 ∫ u - 1 2 d u

Vamos achar a primitiva usando a mesma expressão usada na integral anterior:

∫ - 1 2 u d u = - 1 2 ∫ u - 1 2 d u = - 1 2 ∙ u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 = - 1 2 ∙ u 1 2 1 2 = - 1 2 ∙ 2 u 1 2 = - u 1 2 + C

Passo 3

Pronto, agora é ir só substituindo de volta:

∫ u 2 u d u + ∫ - 1 2 u d u = u 3 2 3 + - u 1 2 + C = u 3 2 3 - u 1 2 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 1 + x 2 :

∫ x 3 1 + x ² d x = ∫ u 2 u d u + ∫ - 1 2 u d u = u 3 2 3 - u 1 2 + C = 1 + x 2 3 2 3 - 1 + x 2 1 2 + C

Resposta

∫ x 3 1 + x ² d x = 1 + x 2 3 2 3 - 1 + x 2 1 2 + C

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