Calcule a integral definida:

∫ 0 2 sech 2 ⁡ x 2 d x

Passo 1

Podemos fazer essa integral de duas formas: calcular a indefinida e no final resolver a definida ou ir resolvendo direto trocando os limites de integração.

Nesta eu vou resolver a indefinida e no final a definida, ok?

A primeira coisa que vamos fazer é trocar o argumento da função hiperbólica para u .

Passo 2

Calculemos então a integral:

∫ sech 2 ⁡ x 2 d x

Aqui faremos uma substituição no argumento da função hiperbólica, chamando u = x 2 e derivando, temos d u = 1 2 d x .

Vamos multiplicar essa expressão por 2 para deixar o d x sozinho.

2 d u = d x

Passo 3

Sendo assim, podemos trocar a variável da integral e obter uma mais simples:

∫ sech 2 ⁡ x 2 d x = ∫ sech 2 ⁡ u 2 d u = 2 ∫ sech 2 ⁡ u d u  

Passo 4

A integral em u é imediata, pessoal! Temos que ( tgh ⁡ u ) ' = sech 2 ⁡ u .

Assim,

∫ sech 2 ⁡ x 2 d x = 2 ∫ sech 2 ⁡ u d u = 2 tgh 2 ⁡ u + C

Passo 5

Agora, basta voltar na variável inicial x , pois u = 3 x .

∫ sech 2 ⁡ x 2 d x = 2 tgh 2 ⁡ x 2 + C

Passo 6

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 2 sech 2 ⁡ x 2 d x = 2 tgh 2 ⁡ x 2 0 2 = 2 tgh 2 ⁡ 2 2 - 2 tgh 2 ⁡ 0 2 = 2 ( tgh 2 ⁡ 1 - tgh 2 ⁡ 0 )

Lembrando que tgh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x .

∫ 0 2 sech 2 ⁡ x 2 d x = 2 e 1 - e - 1 e 1 + e - 1 2 - e 0 - e - 0 e 0 + e - 0 2 = 2 e 1 - e 1 e 1 + e - 1 2 = 2 tgh 2 ⁡ 1

Fechou!

Resposta

∫ 0 2 sech 2 ⁡ x 2 d x = 2 tgh 2 ⁡ 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados