Enunciado

Encontre g ' ( x ) usando a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo e verifique sua resposta calculando a integral e depois diferenciando.

g x = ∫ 1 x t 2 - t d t

Passo 1

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ a g x f t d t = f g x g ' ( x )

Então:

g x = ∫ 1 x t 2 - t d t

Derivando:

g ' ( x ) = x 2 - x x '

g ' x = x 2 - x

Passo 2

Agora, vamos conferir calculando a integral e depois derivando o resultado:

g x = ∫ 1 x t 2 - t d t = t 3 3 - t 2 2 1 x = x 3 3 - x 2 2 - 1 3 - 1 2

g x = 2 x 3 - 3 x 2 + 1 6

Derivando:

g ' x = 6 x 2 - 6 x 6 = x 2 - x

Opa, tudo certo, os resultados bateram!!

Resposta

g ' x = x 2 - x

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