Calcule a integral indefinida:

∫ d x e 2 x - 8

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva. Antes precisamos dar uma arrumada nela, vejam só:

∫ d x e 2 x - 8 = ∫ d x ( e x ) 2 - 8

O pulo do gato para essa questão é multiplicar o numerador o denominador por e x .

∫ d x ( e x ) 2 - 8 = ∫ e x d x e x ( e x ) 2 - 8

Agora eu vou deixar o 8 em evidência para ficar uma expressão do tipo u 2 - 1 , dentro da raiz.

∫ e x d x e x ( e x ) 2 - 8 = ∫ e x d x e x 8 1 8 e x 2 - 1 = ∫ e x d x 8 e x 1 8 e x 2 - 1

Continuando...

∫ e x d x √ 8 e x e x 2 8 - 1 = ∫ e x d x √ 8 e x e x 8 2 - 1

Agora ficou interessante, está quase com cara de uma integral conhecida.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição para ficar u 2 - 1 dentro da raiz.

Faremos a substituição u = e x 8 e derivando temos d u = e x 8 d x que é justamente algo que aparece na integral:

∫ e x d x √ 8 e x e x 8 2 - 1 = ∫ d u e x u 2 - 1

Perceba que a integral não está totalmente na variável u , devemos descobrir quem é e x , mas olhem a nossa substituição u = e x 8   →       e x = 8 u . Agora sim!

∫ d u 8 u u 2 - 1 = 1 8 ∫ d u u u 2 - 1

Passo 3

Agora resolveremos essa integral:

I = 1 8 ∫ d u u u 2 - 1

Teremos que fazer uma outra substituição h = u 2 - 1 = u 2 - 1 1 2 e derivando temos

u 2 - 1 1 2 ' = 1 2 ( u 2 - 1 ) 1 2 - 1 ⋅ ( u 2 - 1 ) '

Usa-se a regra da cadeia na função acima e ficamos com

d h = 1 2 ( u 2 - 1 ) - 1 2 2 u d u = 2 u 2 ( u 2 - 1 ) 1 2 d u = u u 2 - 1 d u

d h = u u 2 - 1 d u

Agora observem que h = u 2 - 1 , então d h = u h d u e d u = h u d h .

Passo 4

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável h .

Temos que:

I = 1 8 ∫ d u u u 2 - 1

E d u = h u d h com h = u 2 - 1 , com isso, temos que u 2 = h 2 + 1 . Então:

= 1 8 ∫ d u u u 2 - 1 = 1 8 ∫ h u d h   u h = 1 8 ∫ d h u 2 = 1 8 ∫ d h h 2 + 1

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 5

Agora resolvemos a integral:

I = 1 8 ∫ d h h 2 + 1 = 1 8 tan - 1 ⁡ h + C

Aqui devemos lembrar que ( tan - 1 ⁡ u ) ' = 1 u 2 + 1 , então essa era justamente a primitiva que precisávamos.

Passo 6

O último passo é voltar na variável original x . Como o problema deu uma integral indefinida na variável x , nós devemos dar a resposta nessa variável também.

∫ d x e 2 x - 8 = 1 8 tan - 1 ⁡ h + C

Sendo u = e x 8 e h = u 2 - 1 , temos h = e 2 x 8 - 1 .

Logo,

∫ d x e 2 x - 8 = 1 8 tan - 1 ⁡ e 2 x   8 - 1 + C

Ufa! Terminamos mais uma.

Resposta

∫ d x e 2 x - 8 = 1 8 tan - 1 ⁡ e 2 x   8 - 1 + C

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