Ache a derivada da função:

h(w) = w^2 \* senh^(-1)(2w)

Passo 1

Para resolver essa, precisaremos utilizar a regra do produto e depois regra da cadeia, pois temos uma multiplicação de funções f x = w 2 e g x = senh - 1 ⁡ 2 w .

Vamos começar então aplicando a derivada do produto.

f x g x ' = f ' x g x + f x g ' ( x ) .

h ' w = ( w 2 ) ' ( senh - 1 ⁡ 2 w ) + ( w 2 ) ( senh - 1 ⁡ 2 w ) '

h ' w = 2 w ( senh - 1 ⁡ 2 w ) + ( w 2 ) ( senh - 1 ⁡ 2 w ) '

Acima eu usei a derivada de um polinômio w 2 ' = 2 w .

Passo 2

Precisamos de ( senh - 1 ⁡ 2 w ) ' , para isso devemos lembrar a derivada:

( senh - 1 ⁡ x ) ' = 1 x 2 + 1

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( senh - 1 ⁡ u ) ' = u ' u 2 + 1

Passo 3

No nosso exemplo, g x = senh - 1 ⁡ 2 w ⏟ u , logo u = 2 w e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:

( senh - 1 ⁡ 2 w ) ' = 2 w 2 w 2 + 1 = 2 4 w 2 + 1

Passo 4

Substituindo a derivada ( senh - 1 ⁡ 2 w ) ' = 2 4 w 2 + 1 em:

h ' w = 2 w ( senh - 1 ⁡ 2 w ) + ( w 2 ) ( senh - 1 ⁡ 2 w ) '

Ficamos com:

h ' w = 2 w ( senh - 1 ⁡ 2 w ) + 2 w 2 4 w 2 + 1

Prontinho!

Resposta

h ' w = 2 w ( senh - 1 ⁡ 2 w ) + 2 w 2 4 w 2 + 1

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