Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^(pi // 6) (sin (t))/(cos^2 (t)) d t

Passo 1

Para resolver essa integral vamos utilizar a seguinte estratégia: fazer uma substituição simples, mudar os limites de integração de acordo com nossa variável e aplicar esses limites no nosso resultado. Assim, tomemos a seguinte substituição

cos (t) = u -> (d u)/(d t) = - s e n (t) -> - d u = s e n (t) d t

Analisando, agora, os limites de integração

Q u a n d o t = 0 -> u = 1 , Q u a n d o t = (pi)/(6) -> u = (sqrt(3))/(2)

Assim, nossa integral agora escrita em termos de u será

int_1^((sqrt(3))/(2)) - (d u)/(u^2) = [- (u^(- 2 + 1))/(( - 2 + 1 ))]_1^((sqrt(3))/(2)) = [(u^(- 1))/(( 1 ))]_1^((sqrt(3))/(2)) = [(1)/((sqrt(3))/(2)) - (1)/(1)] = (2)/(sqrt(3)) - 1 = (2 sqrt(3) - 3)/(3)

Resposta

(2 sqrt(3) - 3)/(3)

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