Enunciado

Calcule a integral dupla.

∬_R s e n ( x + y ) d A , R = {(x , y),0 <= x <= (pi)/(2) , 0 <= y <= (pi)/(2)}

Passo 1

A região R é um retângulo, então o diferencial de área é ou d x d y ou d y d x . A escolha vai depender da dificuldade de resolver a primeira integral. Como aqui não faz muita diferença, vou fazer d y d x . Quanto mais exercícios você fizer, mais faro você vai ter na hora de escolher a ordem do diferencial! Bora lá?

int_0^(pi // 2) int_0^(pi // 2) s e n ( x + y ) d y d x = int_0^(pi // 2) [- cos (x + y)]_(y = 0)^(y = pi // 2) d x = - int_0^(pi // 2) cos (x + (pi)/(2)) - c o s x d x

Se tudo der certo ficamos com uma integral apenas em x ! Se liga nisso! Não pode sobrar nenhum y a partir daqui!

Passo 2

Agora é só resolver a integral restante!

= - int_0^(pi // 2) cos (x + (pi)/(2)) - c o s x d x = - [s e n (x + (pi)/(2)) - s e n x]_(x = 0)^(x = (pi)/(2))

Passo 3

E agora vamos aplicar nos limites:

= - [s e n ((pi)/(2) + (pi)/(2)) - s e n ((pi)/(2)) - (s e n ((pi)/(2)) - s e n 0)] = - [s e n (pi) - 1 - 1 + 0] = 2

Resposta

2

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Calcular ∬ R f x ,y d x d y , onde:c) f x ,y = x cos ⁡ x y ; R é o retângulo 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ π 2
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes: ∫ 0 1 ∫ x 2 x 2 x + 4 y d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:g) ∫ - 1 1 ∫ 1 - x 2 4 - x 2 x d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:n) ∫ - 1 2 ∫ 0 x + 1 x 2 d yd x
2) Esboçar a região de integração e calcular as integrais iteradas seguintes:e) ∫ 0 π ∫ 0 sen ⁡ x y d yd x