Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

ϕ x , y , z , t = α x + β y 2 γ z + δ y 2

Passo 1

Bom, o problema pede para achar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Para isso, basta tomar as derivadas usando as regras de derivação!

Como t não aparece na expressão de ϕ , podemo escrever de cara:

∂ ϕ ∂ t = 0

Para as demais variáveis devemos recorrer a regra do quociente:

∂ ϕ ∂ x = α γ z + δ y 2 - 0 γ z + δ y 2 2

Logo,

∂ ϕ ∂ x = α γ z + δ y 2

Passo 2

Derivando com relação a y :

∂ ϕ ∂ y = 2 β y γ z + δ y 2 - α x + β y 2 2 δ y   γ z + δ y 2 2

Portanto,

∂ ϕ ∂ y = 2 β γ y z - 2 α δ x y γ z + δ y 2 2

Por fim, fazendo o mesmo com relação a z :

∂ ϕ ∂ z = 0 - α x + β y 2 ⋅ γ γ z + δ y 2 2

Assim,

∂ ϕ ∂ z = - γ α x + β y 2 γ z + δ y 2 2

Resposta

∂ ϕ ∂ x = α γ z + δ y 2

∂ ϕ ∂ y = 2 β γ y z - 2 α δ x y γ z + δ y 2 2

∂ ϕ ∂ z = - γ α x + β y 2 γ z + δ y 2 2

∂ ϕ ∂ t = 0

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