Calcular ∬ R f x ,   y d x d y , onde:

c) f(x, y) = x \* cos(xy) ; R é o retângulo 0 <= x <= 2 / 0 <= y <= pi/2

Passo 1

Queremos integrar a função f x ,   y = x cos ⁡ x y na região 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ π 2 .

Passo 2

Podemos escrever a integral da seguinte forma:

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x cos ⁡ x y d y d x

Resolvemos primeiro em função de y , pois é mais simples que em função de x .

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x cos ⁡ x y d y d x = ∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x cos ⁡ x y d y d x = ∫ 0 2 sen ⁡ x y 0 π 2 d x

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 sen ⁡ x y 0 π 2 d x = ∫ 0 2 sen ⁡ x π 2 - sen ⁡ 0 d x = ∫ 0 2 sen ⁡ x π 2 d x

Agora resolvemos a integral simples em função de x .

∫ 0 2 sen ⁡ x π 2 d x = - 2 π cos ⁡ x π 2 0 2

Aplicando os limites de integração:

- 2 π cos ⁡ x π 2 0 2 = - 2 π cos ⁡ 2 π 2 - - 2 π cos ⁡ 0 = 2 π + 2 π = 4 π

Temos então que:

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x cos ⁡ x y d y d x = 4 π

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 x cos ⁡ x y d y d x = 4 π

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