Enunciado

Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.

Passo 1

Através da integral dupla, tem-se que a área de um conjunto é dada por:

A = ∫ ∫ B d x d y

Ou:

A = ∫ a b ∫ c y d y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado pelas inequações 4 / x ≤ 3 y ≤ - 3 x 2 + 7 x . Observando o esboço do conjunto:

Os limites de integração podem ser dados por:

1 ≤ x ≤ 2

Tal que o valor de y será determinado nesta parte por:

4 3 x ≤ y ≤ - x 2 + 7 x 3

Passo 2

Logo, a área será dada por:

A = ∫ 1 2 ∫ 4 / 3 x - x 2 + 7 x / 3 d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

A = ∫ 1 2 y | y = - x 2 + 7 x / 3 y = 4 / 3 x d x

Substituindo o intervalo de integração:

A = ∫ 1 2 - x 2 + 7 x 3 - 4 3 x d x

Passo 3

Agora, integrando em relação à x :

A = - x 3 3 + 7 x 2 6 - 4 3 ln ⁡ x | x = 2 x = 1

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

A = - 8 3 + 28 6 - 4 3 ln ⁡ 2 - - 1 3 + 7 6 - 4 3 ln ⁡ 1

A = - 16 + 28 + 2 - 7 6 - 4 3 ln ⁡ 2

A = 7 6 - 4 3 ln ⁡ 2 = 7 - 8 ln ⁡ 2 6

Resposta

7 - 8 ln ⁡ 2 6

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Desenhe um exemplo de uma região que seja Tanto do tipo I quanto do tipo II;Nem do tipo I nem do tipo II.
Use a geometria ou simetria, ou ambas, para calcular a integral dupla ∬ D a x 3 + b y 3 + a 2 - x 2 d A D = - a , a × - b , b
Determine o volume do sólido dado.Abaixo do plano x - 2 y + z = 1 e acima da região limitada por x + y = 1 e x 2 + y = 1 .
Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil ∬ D y d A D é limitada por y = x - 2 , x
Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. ∬ D x y d A D é limitada pelas retas y = x 2 , y = 3 x