Enunciado

Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.

Passo 1

Através da integral dupla, tem-se que a área de um conjunto é dada por:

A = ∫ ∫ B d x d y

Ou:

A = ∫ a b ∫ c y d y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x d y d x

Neste caso, B é dado no enunciado pelas equações y = x 2 - x e x = y 2 - y . Observando o esboço do conjunto:

Observa-se que a região pode ser dividida em duas partes iguais, tornando possível a resolução de apenas metade da área e depois multiplicar o resultado por dois.

Então, para a metade de baixo, os limites de integração podem ser dados por:

0 ≤ x ≤ 2

Tal que o valor de y será determinado nesta parte por:

x 2 - x ≤ y ≤ x

Passo 2

Logo, a área será dada por:

A = 2 ∫ 0 2 ∫ x 2 - x x d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

A = 2 ∫ 0 2 y | y = x y = x 2 - x d x

Substituindo o intervalo de integração:

A = 2 ∫ 0 2 x - x 2 - x d x

A = 2 ∫ 0 2 2 x - x 2 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação à x :

A = 2 x 2 - x 3 3 | x = 2 x = 0

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

A = 2 4 - 8 3

A = 2 12 - 8 3

A = 8 3

Resposta

8 3

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