Calcule a integral dupla.

∬ R x   s e n   ( x + y )   d A     ; R = 0 , π 6 × 0 , π 3

Passo 1

Vamos montar a integral iterada com os limites de integração:

∫ 0 π 6 ∫ 0 π 3 x   s e n   ( x + y )   d y d x

Beleza, a gente vai integrar em y primeiro, como se x fosse constante.

Passo 2

∫ 0 π 6 - x cos ⁡ x + y 0 π 3   d x

- ∫ 0 π 6 x cos ⁡ x + π 3 + x cos ⁡ x   d x

Ok! Vamos integrar em x agora...

Passo 3

A gente pode separar em duas:

- ∫ 0 π 6 x cos ⁡ x + π 3 d x + ∫ 0 π 6 x cos ⁡ x d x

E resolver cada uma por integração por partes...

- x sen ⁡ x + π 3 0 π 6 - ∫ 0 π 6 sen ⁡ x + π 3 d x + x sen ⁡ x 0 π 6 - ∫ 0 π 6 sen ⁡ x d x

- x sen ⁡ x + π 3 0 π 6 - - cos ⁡ x + π 3 0 π 6 + x sen ⁡ x 0 π 6 - - cos ⁡ x 0 π 6

- π 6 ⋅ 1 - 0 ⋅ 3 2 - - 0 + 1 2 + π 6 ⋅ 1 2 - 0 ⋅ 0 - - 3 2 + 1

- π 6 + 1 2 + π 12 + 3 2 - 1

= 3 - 1 2 - π 12

Pronto!!

Resposta

3 - 1 2 - π 12

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