Enunciado

Use simetria para calcular a integral dupla.

∬_R (1 + x^2 s e n y + y^2 s e n x) d A ; R = [- pi , pi] xx [ - pi , pi ]

Passo 1

Vamos separar a integral em três:

∬_R 1 d A + ∬_R x^2 s e n y d A + ∬_R y^2 s e n x d A

Beleza, isso com os intervalos fica assim:

A (R) + int_(- pi)^(pi) int_(- pi)^(pi) x^2 s e n y d y d x + int_(- pi)^(pi) int_(- pi)^(pi) y^2 s e n x d y d x

Passo 2

A área de R é A = 2 pi (2 pi) = 4 pi^2 .

Vamos ver as integrais agora:

int_(- pi)^(pi) int_(- pi)^(pi) x^2 s e n y d y d x

int_(- pi)^(pi) x^2 d x int_(- pi)^(pi) s e n y d y

Mas, s e n y é uma função ímpar, simétrica pela origem, então a integral zera...

int_(- pi)^(pi) x^2 d x int_(- pi)^(pi) s e n y d y = 0

Passo 3

E a outra?

A mesma coisa...

int_(- pi)^(pi) int_(- pi)^(pi) y^2 s e n x d y d x

int_(- pi)^(pi) y^2 d y int_(- pi)^(pi) s e n x d x

A função s e n x é ímpar, então a integral zera...

int_(- pi)^(pi) int_(- pi)^(pi) y^2 s e n x d y d x = 0

Só sobrou a área então né?!

A (R) + int_(- pi)^(pi) int_(- pi)^(pi) x^2 s e n y d y d x + int_(- pi)^(pi) int_(- pi)^(pi) y^2 s e n x d y d x

4 pi^2 + 0 + 0 = 4 pi^2

Prontinho!!

Resposta

4 pi^2

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Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a :y e^(x y)
Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a :h) (1)/((x + y)^2)
Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a :b ) x - y
Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a:m) (1)/(1 + x^2 + 2 x y + y^2)
Seja A o retângulo 1 = x = 2 , 0 = y = 1 . Calcule ∬_A f (x , y) d x d y , sendo f (x , y) igual a:l) x s e n ( pi y )