Enunciado

Calcule a integral iterada.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

int_0^1 int_y^(2 y) int_0^(x + y) 6 x y d z d x d y

Começaremos o exercício calculando a integral em função de z :

int_0^1 int_y^(2 y) [6 x y z]_(z = 0)^(z = x + y) d x d y = int_0^1 int_y^(2 y) 6 x y ( x + y ) d x d y

E, simplificando a expressão, temos:

int_0^1 int_y^(2 y) (6 x^2 y + 6 x y^2) d x d y

Passo 2

Agora podemos calcular a integral em função de x :

int_0^1 [2 x^3 y + 3 x^2 y^2]_(x = y)^(x = 2 y) d y = int_0^1 (16 y^4 + 12 y^4) - ( 2 y^4 + 3 y^4 ) d z

E, simplificando, obtemos:

int_0^1 23 y^4 d y

Passo 3

E por fim, podemos resolver a integral em função de y :

[(23)/(5) y^5]_0^1 = (23)/(5) - 0

E, dessa forma o valor da integral é:

int_0^2 int_0^(z^2) int_0^(y - z) (2 x - y) d x d y d z = (23)/(5)

Resposta

int_0^2 int_0^(z^2) int_0^(y - z) (2 x - y) d x d y d z = (23)/(5)

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