Enunciado

Utilize a simetria para calcular ∬ D 2 - 3 x + 4 y   d A , onde D é a região delimitada pelo quadrado com vértices ( ± 5,0 ) e ( 0 , ± 5 ) .

Passo 1

Fazendo um esboço da região de integração, obtemos:

Como a região é simétrica com relação a ambos os eixos, podemos fazer considerações de simetria. Observe que tanto 3 x como 4 y são funções ímpares com respeito a suas variáveis, de modo que suas integrais em intervalos simétricos devem se anular:

∬ D 3 x   d A = 0     e     ∬ D 4 y   d A = 0

Assim,

∬ D 2 - 3 x + 4 y   d A = 2 ∬ D d A

Passo 2

A integral que restou é simples de ser calculada: é área do quadrado. O lado do quadrado é calculado usando Pitágoras:

l 2 = 5 2 + 5 2 = 50 ⇒ l = 50

Assim,

∬ D d A = l 2 = 50

Portanto,

∬ D 2 - 3 x + 4 y   d A = 2 ⋅ 50 = 100

Resposta

100

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