Enunciado

Determine a área da superfície.

A parte da superfície z = 1 + 3 ⋅ x + 2 ⋅ y 2 que está acima do triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (2,1).

Passo 1

Vamos utilizar para esse exercício a relação para área da superfície dada por

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A

Passo 2

Vamos começar calculando a reta que liga o ponto (0,0) ao ponto (2,1). Usando a equação da reta chegamos que a reta que liga esses dois pontos é y = 1 2 ⋅ x . Vamos manter y fixo e variar o x . Assim, chegamos que nossos intervalos serão

0 ≤ x ≤ 2 ⋅ y

0 ≤ y ≤ 1

Aplicando então a nossa integral dupla para a área e substituindo os valores, temos que

A S = ∫ ∫ D ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 + 1 ⋅ d A = ∫ 0 1 ∫ 0 2 ⋅ y 3 2 + 4 ⋅ y 2 + 1 ⋅ d x ⋅ d y =

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 ⋅ y 10 + 16 ⋅ y 2 ⋅ d y ⋅ d x = ∫ 0 1 10 + 16 ⋅ y 2 ⋅ 2 ⋅ y ⋅ d y  

Usando a substituição u = 16 ⋅ y 2 + 10 ficamos com a seguinte integral

1 16 ⋅ ∫ 10 26 u ⋅ d u = 1 16 ⋅ 2 3 u 3 2 10 26 = 1 24 ⋅ 26 3 2 - 10 3 2

Resposta

A S = 1 24 ⋅ 26 3 2 - 10 3 2

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