Calcule a integral:

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 4 c o t g h   x   d x

Passo 1

Vamos reescrever a integral como:

∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 4 c o t g h   x   d x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ 4 cosh ⁡ x s e n h   x   d x

Vamos fazer a substituição: u = s e n h   x     d u = c o s h   d x

Aí reescrevemos como uma integral indefinida (para não ter que mudar os limites de integração)...

∫ d u u = ln ⁡ u + C

Passo 2

Vamos voltar para a variável x agora:

ln ⁡ u + C = ln ⁡ s e n h   x   ]   l n 2 l n 4    

Sabendo que s e n h   x =   e x - e - x 2 …

ln ⁡ s e n h   x   ]   l n 2 l n 4     = ln ⁡ e x - e - x 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 4  

Aí é só jogar os limites:

ln ⁡ e x - e - x 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 4   = ln ⁡ e l n 4 - e - l n 4 2 - ln ⁡ e l n 2 - e - l n 2 2 = ln ⁡ 4 - 1 4 2 - ln ⁡ 2 - 1 2 2 = ln ⁡ 15 4 2 - ln ⁡ 3 2 2 = ln ⁡ 15 8 - ln ⁡ 3 4 = ln ⁡ 15 8 3 4 = ln ⁡ 15 8 . 4 3 = ln ⁡ 5 2

Resposta

ln ⁡ 5 2

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