Efetue a antidiferenciação:

∫ y   c o s e c 3 y 2 c o t g 3 y 2 d y

Passo 1

Queremos calcular a integral:

∫ y   c o s e c 3 y 2 c o t g 3 y 2 d y

Vamos chamar essa integral de I daqui pra frente, show? Bora lá, qual é o primeiro passo? Botar o que é constante pra fora, mas como não tem nada, vamos direto pra substituição marota. Pra facilitar nossa vida e não termos que ficar lidando com regra da cadeia, vamos substituir:

u = 3 y 2

Derivando,

d u = 6 y d y

d y = d u 6 y

Substituindo isso na integral:

I = ∫ y c o s e c u c o t g u d u 6 y

Cortando o y e botando o 1 6 pra fora:

I = 1 6 ∫ c o s e c u c o t g u d u

Passo 2

Isso aí a gente sabe integrar tranquilamente! Da nossa tabelinha, sabemos o seguinte:

∫ c o s e c x c o t g x d x = - c o s e c x

Então aqui não vai ser diferente só porque tá com u em vez de x :

I = 1 6 - c o s e c u + C

Voltando pra variável original:

I = - 1 6 c o s e c ( 3 y 2 ) + C

Fechou!

Resposta

I = - 1 6 c o s e c ( 3 y 2 ) + C

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