Enunciado

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Calcule a integral indefinda

∫ 2 5 d x x 2 - 4 x + 3

Passo 1

Para fazer a integral definida primeiro temos que achar a indefinida, e fazer o teorema da variação total depois

∫ d x x 2 - 4 x + 3

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

a 2 + 1

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

x 2 - 4 x + 3

Primeiro, vamos olhar so p x 2 - 4 x , ele deve ficar parecido com a 2 - 2 a b + b 2 .

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

x 2 - 4 x

Comaprando, teremos

a = x

b = 2

Aqui, vamos somar e subtrair b 2 i.

x 2 - 4 x + 3 + 4 - 4

Organizando

x 2 - 4 x + 4 + 1 = x - 2 2 + 1

A nossa integral fica:

∫ d x x 2 - 4 x + 3 = ∫ d x x - 2 2 + 1

Passo 2

Com aquela integral:

∫ d x x - 2 2 + 1

Vamos fazer a substituição

x - 2 2 = a 2

a = x - 2 → d a = d x

A nossa integral em a vai ser:

∫ d x x - 2 2 + 1 = ∫ d x a 2 + 1

Essa integral em a é a tg - 1 ⁡ a , então teremos:

∫ d x a 2 + 1 = tg - 1 ⁡ a + C

Voltando para x :

tg - 1 ⁡ a + C = tg - 1 ⁡ x - 2 + C

Passo 3

Agora que achamos a integral indefinida, vamos para a definida:

∫ 2 5 d x x 2 - 4 x + 3 = tg - 1 ⁡ x - 2 2 5 = tg - 1 ⁡ 5 - 2 - tg - 1 ⁡ 2 - 2 = tg - 1 ⁡ 3 - tg - 1 ⁡ 0

Podemos achar o valor de tg - 1 ⁡ 0

x = tg - 1 ⁡ 0 ⟷ tg ⁡ x = 0

O ângulo que tem tangente igual a 0 é 0 , então:

x = 0

E nossa integral fica:

∫ 2 5 d x x 2 - 4 x + 3 = tg - 1 ⁡ 3

Resposta

∫ 2 5 d x x 2 - 4 x + 3 = tg - 1 ⁡ 3

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Deduza uma fórmula similar àquela do Exercício 41 para ∫ cot n ⁡ x d x
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Calcular a área da região limitada por y = tg 3 ⁡ x , y = 1 e x = 0 .
Calcule a integral. ∫ s e n 2 π x cos 5 ⁡ ( π x )   d x
Calcule a integral. ∫ s e n 6 π x   d x