Enunciado

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Um tanque contém 200 litros de água salgada, havendo 3 kg de sal por litro. Deseja-se dissolver essa solução acrescentando água salgada com 1 kg de sal por litro a uma taxa de 4 L/min e fazendo-se a solução escoar na mesma taxa. Quando o tanque conterá 1 1 2 kg de sal por litro?

Passo 1

Se y ( t ) for a quantidade de sal dissolvido após t minutos, e sabendo que a água salgada sai a uma taxa de 4 L/min, podemos calcular a taxa de saída de sal da seguinte maneira:

s a í d a = y 2 00   k g L ⋅ 4 L m i n = 4 y 2 00   k g m i n = y 50 k g m i n

Pelo enunciado, podemos calcular também a taxa de entrada de sal:

e n t r a d a = 1   k g L ⋅ 4 L m i n = 4 k g m i n

A taxa de variação de y será então a quantidade de sal que entra menos a quantidade que sai. Temos então nossa equação diferencial:

d y d t = 4 - y 50 = 200 - y 50

Devemos resolvê-la para y 0 = 3 ⋅ 200 = 600   k g .

Passo 2

Vamos primeiro separar as variáveis y e t na equação:

d y 200 - y = 1 50 d t

Agora podemos integrar os dois lados:

∫ d y 200 - y = ∫ 1 50 d t ⇒ - ln ⁡ 200 - y = 1 50 t + C ⇒ ln ⁡ 200 - y = - 1 50 t - C

O que nos leva a:

200 - y = e - 1 50 t - C = A e - 1 50 t ⇒ y = 200 - A e - 1 50 t

sendo A uma constante e A = e - C .

Passo 3

Como y 0 = 6 0 0 , temos:

y 0 = 200 - A e 0 = 200 - A = 600

⇒ A = 200 - 600 = - 400

⇒ y ( t ) = 200 + 4 00 e - 1 50 t

Queremos o valor para o qual y 200 = 1,5 ⇒ y = 300   k g :

y t = 200 + 400 e - 1 50 t = 300 ⇒ 400 e - 1 50 t = 100 ⇒ e - 1 50 t = 100 400 = 1 4

⇒ ln ⁡ e - 1 50 t = ln ⁡ 1 4 ⇒ - 1 50 t = ln ⁡ 1 4 ⇒ t = - 50 ln ⁡ 1 4 = 100 ln ⁡ 2 ≈ 69,31   m i n

Resposta

69,31 minutos.

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