Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.6 - Ex. 9

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desse livro

Calcule a integral indefinida.

∫ x 3 + 2 x 2 + 4 2 x 2 + 2 d x

Passo 1

Para calcular essa integral, primeiro vamos manipular um pouco:

∫ x 3 + 2 x 2 + 4 2 x 2 + 2 d x = 1 2 ∫ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 + 1 d x

Vamos fazer a divisão dos polinômios:

Temos então que:

x 3 + 2 x 2 + 4 = x 2 + 1 x + 2 - x + 2 → x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 + 1 = x 2 + 1 x + 2 x 2 + 1 + - x + 2 x 2 + 1 →

→ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 + 1 = x + 2 + - x + 2 x 2 + 1

Agora vamos substituir na integral:

1 2 ∫ x 3 + 2 x 2 + 4 x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ x + 2 + - x + 2 x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ x + 2 - x x 2 + 1 + 2 x 2 + 1 d x =

= 1 2 ∫ x d x + 1 2 ∫ 2 d x + 1 2 ∫ - x x 2 + 1 d x + 1 2 ∫ 2 x 2 + 1 d x =

= 1 2 ∫ x d x + ∫ d x - 1 2 ∫ x x 2 + 1 d x + ∫ 1 x 2 + 1 d x

Pronto, agora vamos calcular as quatro integrais separadamente.

Passo 2

Com a primeira vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

1 2 ∫ x d x = 1 2 ⋅ x 1 + 1 1 + 1 + C = 1 2 ⋅ x 2 2 + C = x 2 4 + C

Passo 3

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k   d x = k x + C

Aplicando:

∫ d x = x + C

Passo 4

Vamos usar a Regra da Substituição na terceira:

r = x 2 + 1

Vamos agora achar diferencial de r , derivando:

d r = 2 x + 0   d x = 2 x d x

Fazendo a substituição ficamos com:

- 1 2 ∫ x x 2 + 1 d x = - 1 2 ∫ 1 2 r d r = - 1 4 ∫ 1 r d r

Aqui, para achar as primitivas da função, vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Aplicando:

- 1 4 ∫ 1 r d r = - 1 4 ln ⁡ r + C

Passo 5

Com a última vamos usar essa expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctg ⁡ x + C

Aplicando:

∫ 1 x 2 + 1 d x = arctg ⁡ x + C

Passo 6

Agora é só juntar tudo:

1 2 ∫ x d x + ∫ d x - 1 2 ∫ x x 2 + 1 d x + ∫ 1 x 2 + 1 d x = x 2 4 + x - 1 4 ln ⁡ r + arctg ⁡ x + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x 3 + 2 x 2 + 4 2 x 2 + 2 d x = x 2 4 + x - 1 4 ln ⁡ r + arctg ⁡ x + C =

= x 2 4 + x - 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 + arctg ⁡ x + C

Resposta

∫ x 3 + 2 x 2 + 4 2 x 2 + 2 d x = x 2 4 + x - 1 4 ln ⁡ x 2 + 1 + arctg ⁡ x + C

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