Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.6 - Ex. 21

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desse livro

Calcule a integral indefinida.

∫ d x x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 - x

Passo 1

A gente vai começar fatorando essa lindeza...

1 x 4 - 3 x 3 + 3 x 2 - x = 1 x x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 = 1 x x - 1 3

Beleza, a gente tem essa integral aqui então:

∫ 1 x x - 1 3 d x

Passo 2

Na fatoração tem fatores lineares que se repetem. Então a gente tem que fazer frações parciais assim:

1 x x - 1 3 = A x + B x - 1 + C x - 1 2 + D x - 1 3

(Calma, vai dar certo!)

A gente tem que achar A ,   B ,   C   e   D   agora, vamos desenvolver:

1 x x - 1 3 = A x - 1 3 x + B x x - 1 2 x - 1 + C x ( x - 1 ) x - 1 2 + D x ( 1 ) x - 1 3

Agora a gente corta os denominadores...

1 = A x - 1 3 + B x x - 1 2 + C x 2 - C x + D x

1 = A x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 + B x x 2 - 2 x + 1 + C x 2 - C x + D x

1 = x 3 A + B + x 2 - 3 A - 2 B + C + x 3 A + B - C + D

Aí pra isso ser igual, a gente precisa que:

A + B = 0

- 3 A - 2 B + C = 0

3 A + B + C = 0

3 A + B - C + D = 0

Ou seja, A = - 1 ; B = 1 ; C = - 1   e   D = 1 .

Passo 3

Beleza, vamos remontar nossa integral então:

1 x x - 1 3 = - 1 x + 1 x - 1 + - 1 x - 1 2 + 1 x - 1 3

I = ∫ - 1 x + 1 x - 1 - 1 x - 1 2 + 1 x - 1 3   d x

I =   - ∫ 1 x   d x + ∫ 1 x - 1 d x - ∫ 1 x - 1 2 + ∫ 1 x - 1 3 d x

Resolvendo cada uma, a gente encontra:

- ∫ 1 x   d x =   - ln ⁡ | x |

∫ 1 x - 1 d x = ln ⁡ x - 1

- ∫ 1 x - 1 2 d x =   - - 1 x - 1 = 1 x - 1

  ∫ 1 x - 1 3 =   - 1 2 x - 1 2

Ótimo! Agora é só juntar tudo e somar a constante😉

I =   - ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 + 1 x - 1 - 1 2 x - 1 2 + C

Pronto😉

Resposta

I =   - ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1 + 1 x - 1 - 1 2 x - 1 2 + C

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