Mostre que:

∫ 0 1 x x 4 + 1 d x = π 8

Passo 1

Então pessoal, para a integral que nos foi dada a melhor alternativa é fazermos uma substituição simples, do tipo:

u = x 2

d u = 2 x d x

Se substituirmos esses valores na nossa integral, teremos:

∫ 0 1 x x 4 + 1 d x = 1 2 ∫ 0 1 d u u 2 + 1

Show de bola, simplificamos bastante nossa integral!

Passo 2

Para nossa “nova” integral, temos que o resultado é bem conhecido, gente! É o famoso arco tangente, se liga:

1 2 ∫ 0 1 d u u 2 + 1 = 1 2 a r c tan ⁡ u 1 0

Mas como u = x 2 , então:

∫ 0 1 x x 4 + 1 d x = 1 2 a r c tan ⁡ x 2 1 0

Substituindo os intervalos de integração, teremos:

∫ 0 1 x x 4 + 1 d x = 1 2 π 4 = π 8

Como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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