Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.4 - Ex. 65

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Calcule a integral indefinida:

∫ 4 + x 2 d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = 2 tg ⁡ θ

d x = 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ 4 + x 2 d x = ∫ 4 + 4 tg 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 4 1 + tg 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ 4 1 + tg 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 4 sec 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 sec ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 4 sec 3 ⁡ θ d θ = 4 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 2

Para calcular a primeira integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

∫ sec n ⁡ u d u = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

Aplicando vamos ter:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 3 - 1 sec 3 - 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 - 2 3 - 1 ∫ sec 3 - 2 ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

Passo 3

Com a segunda é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ sec ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + tg ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ sec ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Agora vamos juntar tudo:

∫ 4 + x 2 d x = 4 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 4 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ =

= 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 2 tg ⁡ θ , ou seja, tg ⁡ θ = x 2 , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec ⁡ θ :

Assim o valor de sec ⁡ θ é:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 2 4 + x 2 = 4 + x 2 2

Pronto, ficamos então com:

∫ 4 + x 2 d x = 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C =

= 2 ⋅ 4 + x 2 2 ⋅ x 2 + 2 ln ⁡ 4 + x 2 2 + x 2 + C = x 4 + x 2 2 + 2 ln ⁡ 4 + x 2 2 + x 2 + C

Resposta

∫ 4 + x 2 d x = x 4 + x 2 8 + 1 2 ln ⁡ 4 + x 2 2 + x 2 + C

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