Ache a derivada da função F(x) = senh^3(2x) .

Passo 1

Pessoal, para resolver essa derivada, precisamos lembrar que senh ⁡ x é a função seno hiperbólico e sua derivada é o cosh ⁡ x , cosseno hiperbólico.

senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

Precisaremos também lembrar a regra da cadeia (derivada de fora vezes a derivada de dentro)

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

,pois temos a composição de funções senh ⁡ ( 2 x ) 3 , hiperbólica dentro de um polinômio.

Passo 2

Vamos chamar g x = senh ⁡ 2 x , e f x = x 3 , assim percebemos que

  F x = senh ⁡ 2 x 3 = f ( g x )

Na regra da cadeia aparece a expressão f ' g x então vamos ver logo que expressão é essa. Usando a derivada ( x n ) ’ = n x n - 1 com n = 3 , temos que f ' ( x ) = 3 x 3 - 1 = 3 x 2 , então f ' g x = 3 g x 2 .

Aplicando a regra da cadeia e o resultado acima temos

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x = 3 g x 2 ⋅ g ' x

Passo 3

Agora precisamos de g ’ ( x ) em que g ( x ) = senh ⁡ 2 x .

Temos que se u é função de x , então

senh ⁡ u ' = ( cosh ⁡ u ) ⋅ u ' (Regra da cadeia)

No nosso caso, u = 2 x , sendo assim

senh ⁡ 2 x ' = ( cosh ⁡ 2 x ) ⋅ ( 2 x ) ' = ( cosh ⁡ 2 x ) ⋅ 2

Aqui usamos a derivada ( a x ) ’ = a com a = 2 .

Logo, g ' x = 2 cosh ⁡ 2 x .

Passo 4

Agora vamos substituir g ' x   e   g ( x ) em F ' x = 3 g x 2 ⋅ g ' x .

Ficamos então com

F ' x = 3 senh ⁡ 2 x 2 ⋅ ( 2 cosh ⁡ 2 x )

F ' x = 6 senh ⁡ 2 x 2 ⋅ ( cosh ⁡ 2 x )

Tranquilo, né?

Resposta

F ' x = 6 senh ⁡ 2 x 2 ⋅ ( cosh ⁡ 2 x )

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