Calcule a integral indefinida:

∫ d x 7 + 5 x - 2 x 2

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Este tipo de integral precisa de uma manipulação na expressão que está dentro da raiz. Precisaremos completar o quadrado para depois usar uma substituição.

Vamos lá, precisamos somar algo para eliminar o termo de grau 1, da seguinte forma:

7 + 5 x - 2 x 2

- 2 x 2 + 5 x + 7

- 2 x 2 - 5 2 x + 7

Agora eu vou somar b 2 dentro do parenteses e + 2 b 2 fora, para não alterar a expressão, perceba que quando eu coloco o b 2 dentro do parenteses é como se eu somasse - 2 b 2   na expressão.

- 2 x 2 - 5 2 x + b 2 + 7 + 2 b 2

Para que esse parenteses vire x - b 2 , eu preciso que o meu b , seja igual ao coeficiente do x , dividido por 2, ou seja, b = 5 4 . Sendo assim:

- 2 x 2 - 5 2 x + 5 4 2 + 7 + 2 5 4 2

- 2 x - 5 4 2 + 7 + 2 ⋅ 25 16

- 2 x - 5 4 2 + 7 + 25 8

- 2 x - 5 4 2 + 81 8

Fechou então, vamos trocar a expressão da integral e ir para próxima etapa.

∫ d x 7 + 5 x - 2 x 2 = ∫ d x 81 8 - 2 x - 5 4 2

Passo 2

Agora vamos deixar essa integral com cara de uma integral conhecida.

∫ d x 81 8 - 2 x - 5 4 2

Primeiro eu vou deixar o 81 8 , em evidência:

81 8 - 2 x - 5 4 2 = 81 8 1 - 2 81 8 x - 5 4 2 = 81 8 1 - 16 81 x - 5 4 2

= 9 8 1 - 4 9 2 x - 5 4 2 = 9 8 1 - 4 9 x - 5 4 2

Ufa! Vamos substituir essa expressão na integral agora:

∫ d x 81 8 - 2 x - 5 4 2 = ∫ d x 9 8 1 - 4 9 x - 5 4 2 = 8 9 ∫ d x 1 - 4 9 x - 5 4 2

Pronto, pessoal. Conseguem perceber que integral é essa? Elá já tá quase com cara de integral imediata, vamos continuar.

Passo 3

Vamos efetuar uma substituição na integral para ficar apenas u 2 , dentro da raiz.

I = 8 9 ∫ d x 1 - 4 9 x - 5 4 2

Faremos então u = 4 9   x - 5 4 e derivando, temos d u = 4 9 d x .

Para ficar melhor, vamos deixar o d x sozinho para trocar a variável da integral.

Sendo assim, d x = 9 4 d u .

Passo 4

Trocando a variável da integral, ficamos com:

I = 8 9 ∫ d x 1 - 4 9 x - 5 4 2 = 8 9 ∫ 9 4 d u 1 - u 2 = 9 4 ⋅ 8 9 ∫ d u 1 - u 2 = 2 2 4 ∫ d u 1 - u 2

I = 2 2 ∫ d u 1 - u 2

Opa! Essa integral é imediata.

Passo 5

Resolvendo a integral, ficamos com o seguinte:

I = 2 2 ∫ d u 1 - u 2 = 2 2 sen - 1 ⁡ u + C

Pois ( sen - 1 ⁡ u ) ' = 1 1 - u 2 .

Passo 6

Agora nós voltamos na variável inicial x .

∫ d x 7 + 5 x - 2 x 2 = 2 2 sen - 1 ⁡ u + C

Sendo u = 4 9   x - 5 4 , temos

∫ d x 7 + 5 x - 2 x 2 = 2 2 sen - 1 ⁡ 4 9   x - 5 4 + C

Não se esqueça da constante, hein.

Essa integral parece bem complicada, né? Mas não é! O que deu um pouco de trabalho foi manipular a expressão, completar quadrados e tals, a integral, como vocês viram, era imediata.

Resposta

∫ d x 7 + 5 x - 2 x 2 = 2 2 sen - 1 ⁡ 4 9   x - 5 4 + C

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