Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int (d x)/(sqrt(7 + 5 x - 2 x^2))

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Este tipo de integral precisa de uma manipulação na expressão que está dentro da raiz. Precisaremos completar o quadrado para depois usar uma substituição.

Vamos lá, precisamos somar algo para eliminar o termo de grau 1, da seguinte forma:

7 + 5 x - 2 x^2

- 2 x^2 + 5 x + 7

- 2 (x^2 - (5)/(2) x) + 7

Agora eu vou somar b^2 dentro do parenteses e + 2 b^2 fora, para não alterar a expressão, perceba que quando eu coloco o b^2 dentro do parenteses é como se eu somasse - 2 b^2 na expressão.

- 2 (x^2 - (5)/(2) x + b^2) + 7 + 2 b^2

Para que esse parenteses vire (x - b)^2 , eu preciso que o meu b , seja igual ao coeficiente do x , dividido por 2, ou seja, b = (5)/(4) . Sendo assim:

- 2 (x^2 - (5)/(2) x + ((5)/(4))^2) + 7 + 2 ((5)/(4))^2

- 2 (x - (5)/(4))^2 + 7 + 2 * (25)/(16)

- 2 (x - (5)/(4))^2 + 7 + (25)/(8)

- 2 (x - (5)/(4))^2 + (81)/(8)

Fechou então, vamos trocar a expressão da integral e ir para próxima etapa.

int (d x)/(sqrt(7 + 5 x - 2 x^2)) = int (d x)/(sqrt((81)/(8) - 2 (x - (5)/(4))^2))

Passo 2

Agora vamos deixar essa integral com cara de uma integral conhecida.

int (d x)/(sqrt((81)/(8) - 2 (x - (5)/(4))^2))

Primeiro eu vou deixar o (81)/(8) , em evidência:

sqrt((81)/(8) - 2 (x - (5)/(4))^2) = sqrt((81)/(8) (1 - (2)/((81)/(8)) (x - (5)/(4))^2)) = sqrt((81)/(8)) sqrt(1 - (16)/(81) (x - (5)/(4))^2)

= (9)/(sqrt(8)) sqrt(1 - ((4)/(9))^2 (x - (5)/(4))^2) = (9)/(sqrt(8)) sqrt(1 - [(4)/(9) (x - (5)/(4))]^2)

Ufa! Vamos substituir essa expressão na integral agora:

int (d x)/(sqrt((81)/(8) - 2 (x - (5)/(4))^2)) = int (d x)/((9)/(sqrt(8)) sqrt(1 - [(4)/(9) (x - (5)/(4))]^2)) = (sqrt(8))/(9) int (d x)/(sqrt(1 - [(4)/(9) (x - (5)/(4))]^2))

Pronto, pessoal. Conseguem perceber que integral é essa? Elá já tá quase com cara de integral imediata, vamos continuar.

Passo 3

Vamos efetuar uma substituição na integral para ficar apenas u^2 , dentro da raiz.

I = (sqrt(8))/(9) int (d x)/(sqrt(1 - [(4)/(9) (x - (5)/(4))]^2))

Faremos então u = (4)/(9) (x - (5)/(4)) e derivando, temos d u = (4)/(9) d x .

Para ficar melhor, vamos deixar o d x sozinho para trocar a variável da integral.

Sendo assim, d x = (9)/(4) d u .

Passo 4

Trocando a variável da integral, ficamos com:

I = (sqrt(8))/(9) int (d x)/(sqrt(1 - [(4)/(9) (x - (5)/(4))]^2)) = (sqrt(8))/(9) int (((9)/(4) d u))/(sqrt(1 - u^2)) = (9)/(4) * (sqrt(8))/(9) int (d u)/(sqrt(1 - u^2)) = (2 sqrt(2))/(4) int (d u)/(sqrt(1 - u^2))

I = (sqrt(2))/(2) int (d u)/(sqrt(1 - u^2))

Opa! Essa integral é imediata.

Passo 5

Resolvendo a integral, ficamos com o seguinte:

I = (sqrt(2))/(2) int (d u)/(sqrt(1 - u^2)) = (sqrt(2))/(2) sen^(- 1) u + C

Pois ( sen^(- 1) u ) ' = (1)/(sqrt(1 - u^2)) .

Passo 6

Agora nós voltamos na variável inicial x .

int (d x)/(sqrt(7 + 5 x - 2 x^2)) = (sqrt(2))/(2) sen^(- 1) u + C

Sendo u = (4)/(9) (x - (5)/(4)) , temos

int (d x)/(sqrt(7 + 5 x - 2 x^2)) = (sqrt(2))/(2) sen^(- 1) ((4)/(9) (x - (5)/(4))) + C

Não se esqueça da constante, hein.

Essa integral parece bem complicada, né? Mas não é! O que deu um pouco de trabalho foi manipular a expressão, completar quadrados e tals, a integral, como vocês viram, era imediata.

Resposta

int (d x)/(sqrt(7 + 5 x - 2 x^2)) = (sqrt(2))/(2) sen^(- 1) ((4)/(9) (x - (5)/(4))) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari
69. A maioria das calculadoras científicas tem teclas para lo g 10 ⁡ x e ln ⁡ x . Para determinar logaritmos de outras bases, usamos a equação log a ⁡ x = ln ⁡ x ln ⁡ a . Determine os seguintes logari