Calcule a integral indefinida

∫ x ⋅ coth ⁡ x 2 2 d x

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Essa integral será resolvida por substituição.

Percebam que temos um polinômio de grau 2 no argumento da função hiperbólica e um polinômio de grau 1 multiplicando a função, isso indica a substituição.

Passo 2

Faremos a substituição u = x 2 2 e derivando temos d u = 2 x 2 d x = x d x . Vejam que apareceu justamente o x d x que temos na integral inicial.

Passo 3

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável u .

∫ x ⋅ coth ⁡ x 2 2 d x = ∫ coth ⁡ u d u

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 4

Agora resolveremos essa integral e para isso iremos fazer a manipulação:

∫ coth ⁡ u d u = ∫ cosh ⁡ x senh ⁡ x d u

E agora usaremos uma outra substituição, usando o fato de que ( senh ⁡ u ) ' = cosh ⁡ u .

Seja a substituição h = senh ⁡ u , então d h = cosh ⁡ x d x . Logo, a nossa integral na variável h , fica:

∫ cosh ⁡ x senh ⁡ x d u = ∫ d h h = ln ⁡ h + C

Aqui usamos a integral imediata:

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C

Passo 5

O último passo é voltar na variável original x , como o problema deu uma integral indefinida na variável x , nós devemos dar a resposta nessa variável também. Temos que:

∫ x ⋅ coth ⁡ x 2 2 d x = ∫ d h h = ln ⁡ | h | + C

Em que h = senh ⁡ u , e u = x 2 2 . Sendo assim h = senh ⁡ x 2 2 e ficamos com

∫ x ⋅ coth ⁡ x 2 2 d x = ln ⁡ senh ⁡ x 2 2 + C

Fechamos então!

Resposta

∫ x ⋅ coth ⁡ x 2 2 d x = ln ⁡ senh ⁡ x 2 2 + C

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