Calcule a integral indefinida:

∫ d y 9 e y + e - y

Passo 1

Temos uma integral indefinida, então precisamos buscar uma primitiva para ela, ok? Antes precisamos dar uma arrumada nela, vejam só:

∫ d y 9 e y + e - y = ∫ d y 9 e y + 1 e y = ∫ d y 9 ( e y ) 2 + 1 e y = ∫ e y d y 9 ( e y ) 2 + 1 = ∫ e y d y ( 3 e y ) 2 + 1

Agora ficou interessante, percebam que o que está elevado a 2 , é algo que se a gente derivar, obtemos uma expressão parecida com o numerador.

Passo 2

Faremos a substituição u = 3 e y e derivando temos d u = 3 e y d y .

Agora vamos manipular a expressão de d u , para ficar igual o numerador. Dividindo tudo por 3 , ficamos com d u 3 = e y d y .

Passo 3

Neste passo, nós trocamos a variável da integral transformando em uma integral na variável u .

∫ e y d y ( 3 e y ) 2 + 1 = ∫ d u 3 u 2 + 1 = 1 3 ∫ d u u 2 + 1

Prontinho! Agora temos uma integral totalmente em u , e ainda por cima é uma integral imediata.

Passo 4

Agora resolveremos essa integral:

I = 1 3 ∫ d u u 2 + 1 = 1 3 tan - 1 ⁡ u + C

Aqui devemos lembrar que ( tan - 1 ⁡ u ) ' = 1 u 2 + 1 , então essa era justamente a primitiva que precisávamos.

Passo 5

O último passo é voltar na variável original y . Como o problema deu uma integral indefinida na variável y , nós devemos dar a resposta nesta variável também.

∫ d y 9 e y + e - y = 1 3 tan - 1 ⁡ u + C

Sendo u = 3 e y , temos:

∫ d y 9 e y + e - y = 1 3 tan - 1 ⁡ ( 3 e y ) + C

Resposta

∫ d y 9 e y + e - y = 1 3 tan - 1 ⁡ ( 3 e y ) + C

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