Enunciado

Qual dos dois é maior, π e ou e π ? As calculadoras diminuíram o mistério dessa questão, que costumava ser desafiadora. (Verifique você mesmo; você vera que, surpreendentemente, eles estão quase empatados.) No entanto, a questão também pode ser respondida sem uma calculadora.

  1. Determine uma equação para a reta que passa pela origem e é tangente ao gráfico y = ln ⁡ x .
  2. Ofereça um argumento baseado nos gráficos de y = ln ⁡ x e da reta tangente para explicar por que ln ⁡ x < x / e para qualquer x , positivo x ≠ e ,
  3. Mostre que x e < e x para qualquer positivo x ≠ e
  4. Então, qual dos dois é maior,   π e ou e π ?

Passo 1

a)

Para acharmos uma reta, precisamos saber o coeficiente angular e um ponto que pertence a ela. Como ela passa pela origem, então o ponto 0,0 está na reta. Para acharmos o coeficiente angular da reta, vamos pegar a derivada no ponto de interseção da reta com a curva. Se considerarmos o coeficiente angular como m :

y - 0 = m x - 0

Logo,

y = m x

Agora vamos fazer a interseção com a curva y = ln ⁡ x .

y = m x y = ln ⁡ x

Assim,

m x 0 = ln ⁡ x 0

Para o coeficiente angular:

y = ln ⁡ x

Derivando,

y ' = 1 x

No ponto de interseção x = x 0 :

m = 1 x 0 → m x 0 = 1

Como m x 0 = ln ⁡ x 0 :

ln ⁡ x 0 = 1

Portanto,

x 0 = e

Para acharmos o coeficiente angular, basta usarmos que m x 0 = 1 :

m = 1 e

Então a reta fica o seguinte:

y = 1 e x

Passo 2

b) Esboçando um gráfico de y = ln ⁡ x e y = 1 e x , vai ficar assim ó:

Repare que para todos os valores de x positivos diferentes de e o y da reta é sempre maior que que o y da curva ln ⁡ x . Dessa forma para x ≠ e e x > 0 :

y r e t a > y ln ⁡ x

Assim,

x e > ln ⁡ x

Passo 3

c) Do Passo anterior, sabemos o seguinte:

x e > ln ⁡ x

Isto é,

x > e ln ⁡ x   ( i )

Lá de logaritmos:

a ln ⁡ x = ln ⁡ x a

Usando esse lembrete em i :

x > ln ⁡ x e

Como x > 0 :

e x > x e

d) Portanto, teremos que para todos os valores positivos diferentes de e :

e x > x e

Passo 4

e) Se fizemos x = π :

e π > π e

Portanto o maior valor será e π

Resposta

e π

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