Calcule a integral indefinida

∫ d x 15 + 2 x - x 2

Passo 1

∫ d x 15 + 2 x - x 2

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a 2

Ou

a 2 - 1

Como o termo x 2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a 2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

15 + 2 x - x 2

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

15 + 2 x - x 2 = 15 - x 2 - 2 x

Vamos olhar so p x 2 - 3 x , ele deve ficar parecido com a 2 - 2 a b + b 2 .

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

Comaprando, teremos

a = x

b = 1

Agora, temos que somar e subtrair - b 2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

15 - x 2 - 2 x = 15 + 1 - x 2 - 2 x + 1 = 16 - x - 1 2

A nossa integral fica:

∫ d x 15 + 2 x - x 2 = ∫ d x 16 - x - 1 2

Passo 2

∫ d x 16 - x - 1 2

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

x 2 - 1

1 - x 2

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Primeiro, vamos colocar o 16 em evidência dentro da raiz:

16 - x - 1 2 = 16 1 - x - 1 2 16

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

x - 1 2 16 = y 2 → y = x - 1 2

Além disso:

d y = d x 2 → d x = 2 d y

Substituindo na integral:

∫ d x 16 - x - 1 2 = ∫ d x 1 6 1 - x - 1 2 16 = ∫ 2 d y 16 1 - y 2

= ∫ 2 d y 16 1 - y 2 = ∫ 2 d y 4 1 - y 2 = ∫ d y 2 1 - y 2

Essa é integra é sen - 1 ⁡ y , então vamos ter:

∫ d y 2 1 - y 2 = 1 2 sen - 1 ⁡ y + C

Voltando para x

1 2 sen - 1 ⁡ y + C = 1 2 sen - 1 ⁡ x - 1 2 + C

Resposta

1 2 sen - 1 ⁡ x - 1 2 + C

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