Efetue a antidiferenciação:

∫ r 2 sec 2 ⁡ r 3 d r

Passo 1

Queremos calcular a integral:

∫ r 2 sec 2 ⁡ r 3 d r

Vamos chamar essa integral de I daqui pra frente, beleza? Bora lá, qual é o primeiro passo? Botar o que é constante pra fora, mas como não tem nada, vamos direto pra substituição marota. Pra facilitar nossa vida e não termos que ficar lidando com regra da cadeia, vamos substituir:

u = r 3

Derivando,

d u = 3 r 2 d r

d r = d u 3 r 2

Substituindo isso na integral:

I = ∫ r 2 sec 2 ⁡ ( u ) d u 3 r 2

Cortando o r 2 e botando o 1 3 pra fora:

I = 1 3 ∫ sec 2 ⁡ u d u

Passo 2

Isso aí a gente sabe integrar tranquilamente! Da nossa tabelinha, sabemos que a integral de s e c 2 x é t g x , e então aqui não vai ser diferente só porque tá com u em vez de x :

I = 1 3 t g u + C

Voltando pra variável original:

I = 1 3 t g r 3 + C

Fechou!

Resposta

I = 1 3 t g r 3 + C

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