Calcule a integral indefinida

∫ d x 3 x - x 2 - 2

Passo 1

∫ d x 3 x - x 2 - 2

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a 2

Ou

a 2 - 1

Como o termo x 2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a 2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

3 x - x 2 - 2

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

3 x - x 2 - 2 = - 2 - x 2 - 3 x

Vamos olhar so p x 2 - 3 x , ele deve ficar parecido com a 2 - 2 a b + b 2 .

a 2 - 2 a b + b 2 = a - b 2

Comaprando, teremos

a = x

b = 3 2

Agora, temos que somar e subtrair - b 2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

- 2 - x 2 - 3 x = 3 2 2 - 2 - x 2 - 3 x + 3 2 2 = 9 4 - 2 - x - 3 2 2 = 1 4 - x - 3 2 2

A nossa integral fica:

∫ d x 3 x - x 2 - 2 = ∫ d x 1 4 - x - 3 2 2

Passo 2

∫ d x 1 4 - x - 3 2 2

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

x 2 - 1

1 - x 2

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Primeiro, vamos colocar o 1 4 em evidência dentro da raiz:

1 4 - x - 3 2 2 = 1 4 1 - 4 x - 3 2 2

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

4 x - 3 2 2 = y 2 → y = 2 x - 3 2 → y = 2 x - 3

Além disso:

d y = 2 d x → d x = d y 2

Substituindo na integral:

∫ d x 1 4 - x - 3 2 2 = ∫ d y 2 1 4 1 - y 2 = ∫ d y 2 1 4 1 - y 2 = ∫ d y 2 1 2 1 - y 2 = ∫ d y 1 - y 2

Essa é integra é sen - 1 ⁡ y , então vamos ter:

∫ d y 1 - y 2 = sen - 1 ⁡ y + C

Voltando para x

sen - 1 ⁡ y + C = sen - 1 ⁡ 2 x - 3 2 + C

Resposta

sen - 1 ⁡ 2 x - 3 2 + C

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