Enunciado

Para um determinado aparelho, a função densidade de probabildiaide de que ela irá precisar dse manutenção x meses após sua compra é dada por

f x = 1 3 e - x 3 s e x ≥ 0 0 s e x < 0

Ache a probabilidade de que uma chamada telefônica escolhida ao acaso dure:

a ) entre 1   m i n e 2   m i n

b ) seja pelo menos 5   m i n

Passo 1

Para acharmos a probabilidade, devemos fazer a integral da função no intervalo que ele pediu.

Então na letra a , vamos ter:

P 1 < x < 2 = ∫ 1 2 1 3 e - x 3 d x

Vamos começar resolvendo a integral

∫ 1 3 e - x 3 d x

Fazendo:

a = - x 3 → d a = - d x 3 → d x 3 = - d a

∫ 1 3 e - x 3 d x = ∫ - e a d a = - e a + C

Voltando para   x

- e a + C = - e - x 3 + C

Passo 2

A probabilidade vai ser

P 1 < x < 2 = - e - x 3 1 2 = - e - 2 3 - - e - 1 3 = - e - 2 3 + e - 1 3

Passo 3

Agora, vamos para a outroa probabilidade

P x > 5

Para isso, a nossa integral vai de 5 até + ∞ que é o tempo infinito mesmo. Quando ele pedir pelo menos alguma coisa, sempre vai desse valro até + ∞

P x > 5 = ∫ 5 + ∞ 1 3 e - x 3 d x

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 5 + ∞ 1 3 e - x 3 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 5 b 1 3 e - x 3 d x

Sabemos que

∫ 1 3 e - x 3 d x = - e - x 3

Logo

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 5 b 1 3 e - x 3 d x = lim b → + ∞ ⁡ - e - x 3 5 b = lim b → + ∞ ⁡ - e - b 3 - - e - 5 3 =

lim b → + ∞ ⁡ - e - b 3 + e - 5 2 = - e - ∞ + e - 5 2 = 0 + e - 5 2 = e - 5 2

Resposta

Letra a )

- e - 2 3 + e - 1 3

Letra b )

e - 5 2

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 1 ∞ x + 1 x 2 + 2 xd x
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Mostre que se 0 ≤ f t ≤ M e a t para t ≥ 0 , onde M e a são constantes, então a transformada de Laplace F ( s ) existe para sa .