Enunciado

Nos exercícios 1 a 4, para a equação dada,

  1. Encontre uma equação do gráfico em relação aos eixos x -   e   y - , obtidos por uma rotação de um ângulo cuja medida é π 4 e
  2. Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.

3)   x 2 - y 2 = 8

Passo 1

Primeiramente, precisamos nos lembrar do Teorema 10.4.1 para resolver essa questão de rotação:

Teorema 10.4.1

Se (x,y) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e x - , y - for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo α , então

  1. x = x - . cos ⁡ α - y - . s e n   α e y = x - . sen ⁡ α + y - . c o s   α
  2. x - = x . cos ⁡ α + y . s e n   α e y - = - x . sen ⁡ α + y . c o s   α

Com α = π 4 no Teorema 10.4.1 (i), obtemos:

x = x - . cos ( π 4 )   ⁡ - y - . s e n   ( π 4 ) e y = x - . sen ⁡ ( π 4 ) - y - . c o s   ( π 4 )

x = x - . 2 2 ⁡ - y - . 2 2 e y = x - . 2 2 ⁡ + y - . 2 2

Substituindo essas expressões para x e y na equação x 2 - y 2 = 8 , obtemos:

x - . 2 2 ⁡ - y - . 2 2 2 - x - . 2 2 ⁡ + y - . 2 2 2 = 8

Desenvolvendo os produtos notáveis e simplificando:

x - . y - = - 4

Passo 2

A equação obtida no Passo 1 é a equação de uma hipérbole cujas assíntotas são as bissetrizes dos quadrantes no sistema xy. Assim o gráfico da equação x y = - 4 é apresentado abaixo:

Resposta

a)

x - . y - = - 4

b)

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Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.17. x 2 + 2 x y + y 2 + x - y - 4 = 0
Mostre que o gráfico de x + y = 1 é um segmento de uma parábola por uma rotação de eixos de um ângulo cuja medida é π 4 . (Sugestão: elimine os radicais na equação antes de aplicar o Teorema 10.4.1.)
Mostre que para a equação geral do segundo grau em duas variáveis, o discriminante B 2 - 4 A C é invariante sob uma rotação de eixos.
Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.18. 16 x 2 - 24 x y + 9 y 2 - 60 x - 80 y
Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.20. 3 x 2 - 4 x y + 8 x - 1 = 0