Calcule a integral indefinida.

∫ x x 4 + 16   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

O primeiro passo é reescrever a integral:

I = ∫ x x 4 + 16   d x = ∫ x x 2 2 + 16   d x

Vamos fazer a substituição t = x 2 . Note que d t = 2 x   d x , assim, temos que

x   d x = d t 2

Logo,

I = 1 2 ∫ 1 16 + t 2   d t

Agora vamos fazer uma segunda substituição: t = 4 u com d t = 4   d u :

I = 1 2 ∫ 1 16 + 16 u 2 ⋅ 4   d u = 1 8 ∫ 1 1 + u 2   d u

Passo 2

Fazendo a integração,

I = 1 8 arctan ⁡ u + C

Mas u = t / 4 :

I = 1 8 arctan ⁡ t 4 + C

Por fim, como t = x 2 :

I = 1 8 arctan ⁡ x 2 4 + C

Resposta

1 8 arctan ⁡ x 2 4 + C

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