Calcule a integral indefinida.

∫ 1 x 2 + 25   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral indefinida usando as fórmulas de primitivas que envolvem funções trigonométricas inversas.

Para resolver essa integral devemos fazer a substituição x = 5 t . Assim, d x = 5   d t :

I = ∫ 1 x 2 + 25   d x = ∫ 1 25 t 2 + 25 ⋅ 5   d t

Logo,

I = 1 5 ∫ 1 1 + t 2   d t

Passo 2

A integral que sobrou é elementar e nos fornece arctan ⁡ t :

I = 1 5 arctan ⁡ t + C

Mas como t = x / 5 , temos que

I = 1 5 arctan ⁡ x 5 + C

Resposta

1 5 arctan ⁡ x 5 + C

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