Enunciado

43. Em qualquer instante, a taxa segundo a qual uma substância se dissolve é proporcional ao produto da quantidade presente em qualquer instante pela diferença entre a concentração da substância na solução naquele instante e a concentração da substância em uma solução saturada. Uma quantidade de material insolúvel é misturada com 40g de sal, inicialmente. O sal é dissolvido num tanque com 20 litros de água. Se 5g de sal dissolvem-se em 10min e se a concentração de sal numa solução saturada for de 3 g/L, qual a quantidade de sal dissolvido em 20min?

Passo 1

Esta questão é mais uma questão que pode ser resolvida utilizando o mesmo raciocínio de algumas questões anteriores desta mesma seção.

Como trata-se de um enunciado bem grande, para resolver este tipo de problema devemos tirar todas as informações do enunciado e aplicar os conceitos de cálculo desenvolvidos até aqui para dar sequência na resolução da questão.

Passo 2

Como foi dito no enunciado da questão, a taxa de com a qual uma substância se dissolve é proporcional... ,sendo assim ela pode ser escrita como:

d x d t = k x 4 0 - x 20 - 3 ; 20 d x = k x ( - x - 2 0 )

Passando tudo que depende de y para um lado e tudo que depende de t para o outro ficamos com:

- k . d t = 20 d x x x + 2 0

Integrando ambos os lados da equação vem:

∫ - k . d t = ∫ 20 d x x x + 2 0

Decompondo em frações parciais a expressão da direita, temos que ela equivale à:

1 20 1 x - 1 x + 2 0

Sendo assim, teremos:

∫ 20 d x x x + 2 0 = ∫ 2 0 20 1 x - 1 x + 2 0 d x = - k ∫ d t

( ln ⁡ x - ln ⁡ x + 2 0 + C ) = - k t

ln ⁡ x C x + 2 0 = - k t

C x x + 2 0 = e - k t

Passo 3

Agora precisamos aplicar as condições de contorno fornecidas no enunciado para descobrimos os valores das constantes C e k , deixando a expressão somente em função do tempo:

Q u a n d o   t = 0 ,   x = 10   e   a s s i m   t e m o s C 6 = 1 ; C = 6

Logo a nossa expressão fica igual a :

6 x x + 2 0 = e - k t

Do enunciado também, temos que:

t = 10 m i n ,   x = 5  

30 25 = e - 10 k → - 10 k = ln ⁡ 6 5

k = - 0,0182

Passo 4

Assim, podemos encontrar o que o enunciado nos pede:

Q u a n d o   t = 20 m i n

6 x 20 x 20 + 50 = e - k t = e 0,0182 ⋅ 20 = 1,44

6 x 20 = 1,44 x 20 + 72

x 20 = 15,8   g

Resposta

15,8 g

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