Calcule a integral indefinida:

∫ d x 5 - 4 x - x 2 3 2

Passo 1

Pessoal, essa integral é resolvida por substituição trigonométrica, mas, antes, devemos completar o quadrado na expressão do denominador, vejamos como.

5 - 4 x - x 2 = - x 2 + 4 x + 4 + 9 = - x + 2 2 + 9 = 9 - x + 2 2

Com isso, a integral fica:

∫ d x 5 - 4 x - x 2 3 2 = ∫ d x 9 - x + 2 2 3 2

Agora podemos usar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar. Como nós temos 3 2 - x + 2 2 no denominador, isso indica a substituição com o seno, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser x + 2 = 3 sen ⁡ θ . Façamos então a substituição:

x + 2 = 3 sen ⁡ θ d x = 3 cos ⁡ θ d θ

Dessa forma, - x + 2 2 = - 9 sen 2 ⁡ θ     →       9 - x - 2 2 = 9 - 9 sen 2 ⁡ θ = 9 ( 1 - sen 2 ⁡ θ ) = 3 2 cos 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

∫ d x 9 - x - 2 2 3 2 = ∫ 3 cos ⁡ θ d θ 3 2 cos 2 ⁡ θ 3 2 = ∫ 3 cos ⁡ θ 3 3 cos 3 ⁡ θ d θ = 1 9 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ = 1 9 tan ⁡ θ + C

Lembre-se que ( tan ⁡ θ ) ' = sec 2 ⁡ θ .

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo x + 2 = 3 sen ⁡ θ , para achar tan ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição com s e n construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

tan ⁡ θ = x a 2 - x 2   →     tan ⁡ θ = x + 2 9 - ( x + 2 ) 2

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando x + 2 , então basta trocar. Dessa forma, o resultado da integral será:

∫ d x 5 - 4 x - x 2 3 2 = 1 9 x + 2 9 - ( x + 2 ) 2 + C = 1 9 x + 2 5 - 4 x - x 2 + C

Prontinho.

Resposta

∫ d x 5 - 4 x - x 2 3 2 = 1 9 x + 2 5 - 4 x - x 2 + C

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