Calcule a integral indefinida:

∫ e - x d x 9 e - 2 x + 1 3 2

Passo 1

Pessoal, essa integral será resolvida pelo método da substituição trigonométrica, porém, antes devemos fazer uma substituição simples. Seja u = 3 e - x   →     d u = - 3 e - x d x e d u - 3 = e - x d x , então:

∫ e - x d x 9 e - 2 x + 1 3 2 = ∫ e - x d x ( 3 e - x ) 2 + 1 3 2 = ∫ d u - 3 ( u ) 2 + 1 3 2 = - 1 3 ∫ d u u 2 + 1 3 2

Agora podemos utilizar a substituição trigonométrica.

Passo 2

Devemos saber qual substituição trigonométrica usar, como nós temos u 2 + 1 no denominador, isso indica a substituição com a tangente, como vocês podem ver a seguir no quadro de substituições com os respectivos triângulos e intervalos.

Olhando o quadrinho, percebemos que a substituição deve ser u = tan ⁡ θ . Façamos então a substituição:

u = tan ⁡ θ d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Dessa forma, u 2 = tan 2 ⁡ θ     →         u 2 + 1 = tan 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ .

Passo 3

Agora vamos trocar a variável e resolver.

- 1 3 ∫ d u u 2 + 1 3 2 = - 1 3 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ 3 2 = - 1 3 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 3 ⁡ θ = - 1 3 ∫ d θ sec ⁡ θ = - 1 3 ∫ cos ⁡ θ d θ

- 1 3 ∫ cos ⁡ θ d θ = - 1 3   sen ⁡ θ + C  

Passo 4

Como a integral indefinida foi dada na variável x , devemos dar a resposta nesta variável. Sendo u = tan ⁡ θ , para achar sen ⁡ θ nós olhamos o triângulo da substituição com t a n construído no início e utilizamos essas relações trigonométricas. Temos então:

sen ⁡ θ = u a 2 + u 2   →     sen ⁡ θ = u 1 + u 2

No triângulo está x , mas nós efetuamos a substituição usando u , então basta trocar. Dessa forma,

∫ e - x d x 9 e - 2 x + 1 3 2 = - 1 3   sen ⁡ θ + C = - 1 3   u 1 + u 2 + C

Também fizemos a substituição u = 3 e - x , logo, o resultado será:

∫ e - x d x 9 e - 2 x + 1 3 2 = - 1 3   3 e - x 1 + ( 3 e - x ) 2 + C = - 1 3   3 e - x 9 e - 2 x + 1 + C

Resposta

∫ e - x d x 9 e - 2 x + 1 3 2 = -   e - x 9 e - 2 x + 1 + C

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