Calcule a integral indefinida

∫ x 3 + x   x 2 + 3     d x  

Passo 1

Primeira coisa que temos que fazer ver como podemos facilitar nossa vida. Como podemos ajeitar as contas para ficar de um jeito que se bater o olho já sabemos como será o resultado. Eu gosto sempre deixar as contas em notação cientifica, isso facilita muito porque podemos usar aquele truque de derivada básico

d d x   x n = n   x n - 1    

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Passo 2

Nosso caso temos que

∫ x 3 + x   x 2 + 3     d x  

Vamos só dar aquele ajeitada básica, e ver se conseguimos melhorar alguma coisa.

∫ x 3 + x   x 2 + 3     d x   →   ∫ x 3 + x   x 2 + 3     1 / 2 d x  

Ainda está estranho né? Vamos fazer o seguinte então. Vamos fazer uma substituição. Atenção ao Truque da vez : Sempre que você ver uma equação dentro de uma raiz, dentro de uma exponenciação é lá que vamos procurar substituir. Okay, vamos cair dentro então !

u =   x 2 + 3

d u = 2 x   d x → d u 2 =   x   d x

Outra coisa legal

x 3 + x → x   x 2 + 1  

A parte

x 2 + 1 = u - 2  

Então saca só como fica a substituição

∫ x 3 + x   x 2 + 3     1 / 2 d x   → ∫ 1 2 ( u - 2 ) u 1 / 2     d u  

Ahhh olha só a cara disso! Muito melhor! Isso nós conseguimos integrar.

∫ 1 2 u - 2 u 1 2     d u → 1 2 ∫ u u 1 2 - 2 u 1 2     d u     = 1 2 2 5   u 5 2 - 4 3 u 3 2

Agora só precisamos voltar com nossa substituição para X

1 5   x 2 + 3 5 2 - 2 3 x 2 + 3 3 2

E não esqueça, estamos fazendo integrais indefinidas. Então temos que acrescentar uma constante no final da integração.

∫ x 3 + x   x 2 + 3     d x → 1 5   x 2 + 3 5 2 - 2 3 x 2 + 3 3 2     + C

Prontinho, terminamos por aqui, vou te acompanhar pelos próximos exercícios. Não perde o ritmo, vê se consegue matar vários exercícios de uma tacada só : )

Resposta

∫ x 3 + x   x 2 + 3     d x → 1 5   x 2 + 3 5 2 - 2 3 x 2 + 3 3 2     + C

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