Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int root(3)(x^3 + 1) * x^5 d x

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudar a resolver essa atividade.

Queremos calcular a integral dada da forma mais simples possível, afinal de contas ninguém quer ter muito trabalho não é mesmo? Então vamos tentar utilizar uma substituição adequada para que possarmos resolver essa integral adequadamente.

Passo 2

Então, façamos a seguinte substituição

x^3 + 1 = u

-> x^3 = u - 1

Além disso, também podemos inferir dessa substituição

3 x^2 = (d u)/(d x)

-> (d u)/(3) = x^2 d x

Nossa integral pode ser, então, reescrita como sendo

int root(3)(x^3 + 1) * x^3 * x^2 d x = (1)/(3) * int root(3)(u) * ( u - 1 ) d u

Reescrevendo a radiciação:

= (1)/(3) * int u^((1)/(3)) (u - 1) d u

Realizando a distributiva:

= (1)/(3) * int u^((4)/(3)) - u^((1)/(3)) d u

Realizando a integração:

= (1)/(3) * [(3)/(7) u^((7)/(3)) - (3)/(4) u^((4)/(3))]

Retornando, por fim, para a variável x de origem, obtemos a resposta do exercício

(1)/(3) * [(3)/(7) ( x^3 + 1 )^((7)/(3)) - (3)/(4) ( x^3 + 1 )^((4)/(3))] + C

Resposta

(1)/(3) * [(3)/(7) ( x^3 + 1 )^((7)/(3)) - (3)/(4) ( x^3 + 1 )^((4)/(3))] + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral definida. int_0^(pi // 6) (sin (t))/(cos^2 (t)) d t
Calcule a integral indefinida. ∫ sec 2 ⁡ x tan 2 ⁡ x d x
Calcule a integral indefinida. int (cos (ln (t)))/(t) d t
Calcule a integral indefinida. int (x)/(x^2 + 4) d x
Calcule a integral definida. int_(pi // 3)^(2 pi // 3) csc^2 ((t)/(2)) d t