Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int x^a * sqrt(b + c * x^(a + 1)) d x , (c != 0 , a != - 1)

Passo 1

Queremos calcular nossa integral de uma forma mais simples, para isso vamos necessitar fazer a seguinte substituição

u = b + c * x^(a + 1) -> (d u)/(d x) = (a + 1) * c * x^a -> d u = (a + 1) * c * x^a d x

x^a d x = (d u)/(c * ( a + 1 ))

Dessa forma, podemos reescrever nossa integral como sendo

int (sqrt(u) d u)/(c * ( a + 1 )) = (1)/(c * ( a + 1 )) * int sqrt(u) d u = (1)/(c * (a + 1)) * (u^((3)/(2)))/(((3)/(2))) + C

-> (2)/(3 c * ( a + 1 )) * u^((3)/(2)) + C

Retornando para a nossa variável x de origem vamos ter

(2)/(3 c * ( a + 1 )) * u^((3)/(2)) + C = (2)/(3 c * (a + 1)) * (b + c * x^(a + 1))^((3)/(2)) + C

Resposta

(2)/(3 c * (a + 1)) * (b + c * x^(a + 1))^((3)/(2)) + C

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