Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int x^2 (x^3 + 5)^9 d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral

int x^2 (x^3 + 5)^9 d x

Parece complicado?

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição

int f (x) d x -> int g (u) d u

Então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x^3 e um x^2 , podemos então usar a mudança de variável:

u = x^3 + 5

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 x^2 + 0 d x = 3 x^2 d x

x^2 d x = (d u)/(3)

Vamos agora fazer a substuição:

int x^2 (x^3 + 5)^9 d x = int (u^9)/(3) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (u^9)/(3) d u = (1)/(3) int u^9 d u = (1)/(3) * ((u^(9 + 1))/(9 + 1))

int (u^9)/(3) d u = (1)/(3) * (u^(10))/(10)

int (u^9)/(3) d u = (u^(10))/(30) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo

int x^2 (x^3 + 5)^9 d x = int (u^9)/(3) d u = (u^(10))/(30) + C

Como u = x^3 + 5 , então

int x^2 (x^3 + 5)^9 d x = ((x^3 + 5)^(10))/(30) + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

int x^2 (x^3 + 5)^9 d x = ((x^3 + 5)^(10))/(30) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule int csc^2 x c o t g x d x por dois métodos: (b) tomando v = c s c x .
Calcule ∫ 2 s e n x c o s xd x por três métodos: (a) tomando u = s e nx .
Calcule int csc^2 x c o t g x d x por dois métodos: (a) tomando u = c o t g x .
O custo de certa peça de maquinaria é $700 e seu valor é depreciado com o tempo, de acordo com a fórmula d V d t = - 500 t + 1 - 2 , onde V é seu valor t anos após a compra. Qual o valor da peça três
Se q coulombs for a carga de eletricidade recebida por um condensador de um circuito elétrico de i ampères em t s, então i = d q d t . Se i = 5 s e n ( 60 t ) e q = 0 quando t = π 2 , ache a carga pos