Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (a + b x^2)/(sqrt(3 a x + b x^3)) d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral dada por

int (a + b x^2)/(sqrt(3 a x + b x^3)) d x

Tem ideia de como fazemos isso?

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição

int f (x) d x -> int f (u) d u

Então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um x^3 no denominador e uma função com x^2 no numerador, podemos então usar a mudança de variável:

u = 3 a x + b x^3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 3 a + 3 b x^2 d x = 3 (a + b x^2) d x -> (a + b x^2) d x = (d u)/(3)

Vamos agora fazer a substuição:

int (a + b x^2)/(sqrt(3 a x + b x^3)) d x = int (1)/(3 sqrt(u)) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (1)/(3 sqrt(u)) d u = (1)/(3) int (1)/(u^((1)/(2))) d u = (1)/(3) int u^(- (1)/(2)) d u

Calculando a integral...

int (1)/(3 sqrt(u)) d u = (1)/(3) * ((u^(- (1)/(2) + 1))/(- (1)/(2) + 1))

int (1)/(3 sqrt(u)) d u = (1)/(3) * (u^((1)/(2)))/((1)/(2))

int (1)/(3 sqrt(u)) d u = (2 sqrt(u))/(3) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 3 a x + b x^3 :

int (a + b x^2)/(sqrt(3 a x + b x^3)) d x = int (1)/(3 sqrt(u)) d u = (2 sqrt(u))/(3) + C

int (a + b x^2)/(sqrt(3 a x + b x^3)) d x = (2 sqrt(3 a x + b x^3))/(3) + C

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

int (a + b x^2)/(sqrt(3 a x + b x^3)) d x = (2 sqrt(3 a x + b x^3))/(3) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral definida int_(- 1)^3 (1)/((y + 2)^3) d y
Calcule a integral definida int_2^4 (w^4 - w)/(w ³) d w ³
Calcule a integral definida int_(pi // 8)^(pi // 4) 3 c o s e c^2 ( 2 x ) d x
Calcule a integral definida ∫ 1 4 x ( 2 + x )d x
Calcule a integral definida int_0^(sqrt(5)) t sqrt(t^2 + 1) d t